ریشۀ هند و ایرانی جفر و جبر و قبر
جواد مفرد کهلان
کلمۀ قبر در زبان عربی را به درستی با واژۀ گور فارسی مرتبط می دانند که خود با تلخیص جَفرَ اوستایی (ژرف و گود) مرتبط می نماید: نظر به اینکه آریائیان هندی پیشکسوتان علوم جفر و جبر بوده اند و واژۀ جفر که در قرآن نیامده و در زبان عربی به معنی چاه بزرگ و ژرف آمده است؛ لذا این کلمه ها با واژۀ اوستایی جَفرَ (ژرف و گود) و گبیهرۀ سنسکریت به معانی گود و قبر و معما مربوط می نمایند. می دانیم که علم جَفر، به معنی دانش امور نهانی و غیبی گرفته شده است. بر این پایه نام علوم جبر (به سنسکریت بیجَگنیته= محاسبۀ نطفه و ریشه) و جفر را می توان از این واژۀ اوستایی و گبهیرۀ سنسکریتی مأخوذ دانست. بنابراین نام علم جَبر را که خوارزمی نخستین بار آورده، می تواند در هنگام سکونتش در هند از هندوان اخذ کرده باشد:
गभीर adj. gabhira deep
गभीर adj. gabhira grave
गभीर adj. gabhira mysterious
واژۀ صفر عربی و زِرو اروپایی هم نه بر گرفته از سونَ (خالی) در سنسکریت بلکه برگرفته از واژۀ سنسکریتی سوَئیره (اختیاری و رمزی) به نظر می رسد:
स्वैर adj. svaira optional
स्वैर adj. svaira self-willed
स्वैर n. svaira unreservedly
स्वैर n. svaira confidingly
توضیح علم جبر در لغت نامۀ دهخدا:
|| (اصطلاح ریاضی) نام قسمی از علوم ریاضی است. نام علمی است. مؤلف کشاف اصطلاحات فنون آرد: گاه جبر اطلاق شود بر علم جبر و مقابله و آن علمیست که بواسطهٔ آن مجهولات عددیه از معلومات مخصوصه اش شناخته گردد، در حالی که این مجهولات بر وجه مخصوصی باشد. از فرض مجهول شیٔ وحذف مستثنی از یکی از متعادلین و افزونی آن بر دیگری و اسقاط مشترک بین متعادلین بنا برآن چه در کتب علم حساب مقرر است. (از کشاف اصطلاحات الفنون).
جبر شعبه ای از ریاضی است که با اعمال جبری یعنی جمع و تفریق و ضرب و تقسیم (ولی به صورت بسیار دقیقتر از علم حساب) و با مسألهٔ حل معادلات منتجه از این اعمال و شرایط موجود در مسأله سر و کار دارد. عناصری که موضوع عملیات جبری قرار میگیرند ممکن است عدد یا سمبلهای دیگر باشند و گاهگاه این سمبلها نمایشگر مطالب بسیار انتزاعی علم ریاضی اند. چون «حامل»ها و ماتریسها.
از دیرباز تعریف جامع و مانع از علم جبر تا حد زیادی مورد بحث علمای فن بوده است لاگرانژ ۞ در «رساله ای راجع به معادلات عددی» ۞ می گوید «هدف جبر یافتن مقادیر مورد تجسس نیست بلکه آن با سیستم عملیاتی سر و کار دارد که نتیجهٔ آن یافتن مقادیر مورد نظر است. فهرست این عملیات که به طریق جبری نشان داده شده همان فرمول است «.
سره ۞ در کتاب جبر عالی می گوید «جبر چیزی جز تجزیه و حل معادلات نیست «.
دو هامل ۞ در «روش علوم عقلی» امتیازی بین جبر و حساب قائل نشده است و در تحت نام علم الاعداد هر دوی آنها را می آورد. باری از آنچه گذشت معلوم شد تعریف علم جبر همواره مورد اشکال اهل فن بوده و به خصوص امتیاز آن از علم حساب تا حدی برین اشکال افزوده است .
تاریخ جبر: اسم جبر در سال (825 م. 210/ هَ .ق.) بوسیلهٔ محمد بن موسی خوارزمی متداول شد. این نام را وی بر یکی از تألیفات خود یعنی اثر معروف وی «الجبر و المقابلة» نهاد. مترجمان گاهی این عنوان را به صورت «بستن و تساوی» ۞ ترجمه کرده اند؛ اما این ترجمه و تعبیر آنها به هیچ وجه مورد نظر نویسندگان قدیمی اسلامی نبوده است .
بعضی لغت «الجبر» را عربی و «المقابله» را فارسی دانسته و هر دو را وابسته به حل معادلات میدانند. در هر حال کار خوارزمی اولین اثری بود که نام جبر داشت و چون در روزگار وی واجد مطالب عمیق و دقیق بود باعث شد سایر اهل فن البته با تغییراتی در هجاء آن نیز آن نام را به کار برند. این علم در طول تاریخ به نامهای دیگری نیز موسوم شده است چون: اریثمتیکا ۞ (یونانی)، بیژاگانیتا ۞ (لغت هندی)، کیجن سیحو ۞ (لغت ژاپونی)، تین یوئن ۞ (لغت چینی) و فاخری (عربی) (نامی که کرخی در سال 1020 م. به آن داد و در این تسمیه توجه به اسم مولی و مشوق خود فاخرالملک داشت) و چند نام دیگر.
مختصری از تحولات و ترقیات علم جبر: علم جبر در عصرهای مختلف پیشرفت ها کرده که خلاصهٔ آن ذیلا نوشته میشود:
- 1عصری که فقط سرو کار با مسائل مبهم عددی بوده است بدون ورود مفهوم به سمبولها. 2 - عصری که دانشوران ریاضی بحل هندسی معادله درجه دوم و یافتن خطی به ازاء ریشۀ آن توجه داشته اند. 3- دوره ای که بسط منطقی سمبلها (ولی به شکل نارسا) دربارهٔ اعداد مورد نظر بوده است چون کارهای دیو فانتوس. 4 - زمانی که مباحثات و انتقادات نسبة علمی راجع به معادلات محور بحثهای حوزهٔ علمی بوده چون کار مسلمین. 5- وقتی که تئوری معادلات و حل معادلات دو مجذوری مورد توجه علاقمندان جبر قرار گرفت چون کارهای قرن شانزدهم. 6 - دوره ای که با به کار بردن سمبلهای مناسب جبر از مرحلهٔ تئوریهای نارسا خارج شد و بصورت بحثهای تحلیلی و علمی راجع به اعداد و کثیرالجمله ها درآمد. 7 - زمان بسطهای جدید راجع به جبر عالی .
دیوفانت یگانه یونانیی است که مستقیماً در جبر کتاب نوشت و برای اولین بار سمبلهای جبری را به معانی خاص به کار برد. او علامتی برای مجهول و سمبلی برای تفریق و همچنین حروف اولیه ٔ الفباء برای تساوی و سرانجام مربع و مکعب و شکلهای دیگری را برای قوای 2 و 3 و سایر قوا استعمال کرد.
در مشرق از سالهای پیش علاقهٔ خاصی نسبت بحل مسائلی ابراز میشد که امروز به کمک جبر حل میشود. چینی ها سالهای پیش از میلاد مسیح قادر بودند معادلات درجهٔ دوم را حل کنند. کارهای هندو چون کارهای براهما گوپتا ۞، ماهاویرا ۞ بهاسکارا ۞ واجد مسائل زیادی بود که از طریق جبر حل میشد و نیز قدرت قابل ملاحظه ای برای اعمال راجع به آنالیز میداد. در دنیای اسلام به خصوص در زمان خلفاء (در بغداد) سعی وافی به جهت تقارب دو منبع یونانی و هندی شد. نتیجهٔ این تقارب آماده شدن کتبی چون کتاب محمد بن موسی خوارزمی و ابوکامل و کرخی است که از بین آنها اثر خوارزمی تأثیر فوق العاده ای در تفکر ریاضی غرب داشت این کتاب بعدها بوسیلهٔ رابرت آوچستر ۞ به سال 1140 م. و سایر اصحاب مدرسه در قرون وسطی ترجمه شد. علمای مشرق قادر به حل معادلهٔ درجهٔ دوم بودند ولی طریق حل آنها (اعم از آنکه حل معادلات به توسط خودشان تأسیس شده باشد یا از یونانی ها گرفته باشند) طریقی متقن و دقیق نبود. در ابتدای دوره چاپ در اروپا علما متوجه شدند که علم جبر واجد سمبل خاص برای حل معادلهٔ درجهٔ دوم نیست ولی با این وجود میتوان آن معادله را رأساً حل کرد. ایتالیا در آن ایام مرکز آموزش بود و اصحاب مدرسه دقت خاصی برای حل معادلات به خصوص معادلهٔ درجهٔ سوم بکار بردند. حل معادلهٔ درجهٔ سوم بوسیلهٔ نیکلو تارتاگلیا ۞ (1535 م.) بعمل آمد و به وسیلهٔ کاردان ۞ در کتاب ماگنا ۞ به سال 1545 م. انتشار یافت .
معادلهٔ دو مجذوری بوسیلۀ لودوویکوفراری ۞ شاگرد کاردان مزبور حل شد (به سال 1540 م.) و به وسیلۀ کاردان منتشر گردید. پیشرفتهای مهم جبر در خارج از ایتالیا بوسیله دانشورانی چون فرانسوا ویتا ۞ توماس هاریو ۞، دکارت ۞ به عمل آمد. بسط توانها مدیون کارهای جان والیس ۞ است. اثبات عدم امکان حل معادلات درجهٔ پنجم از طریق جبری وابسته به کارهای پائلوروفینی ۞ (سالهای 1803 - 1805 م.) و نیل هنریک آبل ۞ (سال 1824 م.) و اورایست گالیو ۞ (1831 م.) است که کار دانشمند اخیر در سال 1840 م. بعد از مرگش انتشار یافت. باری میتوان گفت که جبر مقدماتی رأساً در قرن هفدهم کامل شد و از آن تاریخ به بعد جبر عالی نشأت گرفت و در زمینهٔ معادلات، توابع متقارن، سریها شروع به پیشرفت کرد و با زحمات دانشمندانی که بعداً نام آنان خواهد آمد جای خود را در میان شعب مختلف علوم ریاضی باز کرد.
تاریخ جبر عالی: بحث در زمینهٔ تبدیل ها ابتداء بوسیلۀ روفینی به سال 1799 م. از بیاض به سواد آمد و نیز بعضی از خواص مقدماتی گروههای تبدیلی بوسیلهٔ اوگوستین لوئی کوشی ۞ به سال 1815 م. شناخته شد. تئوریهای گروههای معین تبدیلات خطی و رابطه اش با حل یک معادله به وسیلهٔ گالیو به سال 1830 م. مطالعه گردید در سالهای بعد خواص مقدماتی گروههای معین از طریق کامیل جردن ۞ (سال 1870 م.) و لئوپلد کرونکر ۞ (سال 1872 م.) بررسی و نتایج آن اعلام شد.
گروههای معین تبدیلات خطی از طریق فلیکس کلاین ۞ (سال 1874 م.) و رودلف لیپس کیتز ۞ (سال 1877 م.) و ریچارد ددکیند ۞ (سال 1884 م.) واهولدر ۞ (سال 1893 م.) مطالعه شد.
تئوریهای تازهٔ این گروهها بوسیلهٔ لئونارد دیکسن ۞ (سال 1901 م.) و ایسای اسکور ۞ (1906 م.) شناخته و پخش گردید. لغت ماتریس ابتداء بوسیلهٔ جیمز سیلوستر ۞ به سال 1850 م. استعمال شد. گرچه در سال 1846 م. خواص مقدماتی ماتریسها تا حدی از طریق آرتورکیلی ۞ شناخته گردیده بود. اما پیشرفتهای واقعی تئوری ماتریس بوسیله ٔ ویلیام هامیلتن ۞ در اثر معروف او راجع به کواترنیون ۞ (به سال 1883 م.) آغاز شد. شروع تئوری جبر خطی از کارهای هامیلتن در کواترنیون بود. البته کارهای سیلوستر (سال 1882 م.) و پیرس ۞ (سال 1883 م.) و کیلی (1885 م.) و شاو ۞ (سالهای 1899 و 1902 و 1907 م.) را نمیتوان نادیده گرفت تئوری جدید در این زمینه از کار ودربرن ۞ (سال 1907 م.) شروع میشود و پیشرفتهای عمیق آن از طریق دیکسن و خود ودربرن در سالهای 1914 و 1921 و 1925 م. عملی میگردد.
از طریق آلبرت ۞ به سال 1934 م. نتایج مرتبط به هم ماتریسهای ریمن ۞ به دست آمد. این بود خلاصه ای از تحول جبر و برای اطلاع بیشتر در این زمینه باید به کتاب واندروایدرن ۞ بنام «جبر جدید» ۞ رجوع شود.
منبع:پژواک ایران